Почему вода давит на дно сосуда и от чего зависит это давление? В этой статье разберём природу гидростатического давления, выведем основные формулы и узнаем, как высота столба жидкости и её плотность влияют на силу давления.
Формула гидростатического давления
Рассмотрим сосуд, наполненный водой. Высота столба жидкости — $h$, площадь дна сосуда — $S$. На поверхность воды давит атмосферное давление $p_0$.
Сначала найдём массу жидкости в сосуде:
$m = \rho_в V_в = \rho_в S h$
Давление на дно складывается из атмосферного давления и давления самой жидкости:
$p_\text{дно} = p_0 + p_\text{жидк}$
Давление жидкости найдём по формуле:
$p_\text{жидк} = \frac{mg}{S} = \frac{\rho_в V_в g}{S} = \rho_в g h$
Подставим полученную формулу давления жидкости в формулу давления на дно сосуда:
$p_\text{дно} = p_0 + \rho_в g h$
Давление столба жидкости называется гидростатическим. Оно зависит только от плотности жидкости, ускорения свободного падения и высоты столба жидкости:
$p_\text{гидростат} = \rho_ж g h$
Опыт Паскаля
Чтобы показать силу гидростатического давления, Паскаль провёл простой, но впечатляющий опыт. Он взял деревянную бочку, полностью заполненную водой, и вставил в неё сверху длинную узкую трубку. Затем он налил в трубку всего один стакан воды. Несмотря на маленький объём, вода в высокой трубке создала большое давление. В результате бочка не выдержала и треснула.
Этот опыт наглядно показывает: важен не объём жидкости, а высота её столба. К примеру, столб пресной воды высотой 10 метров создаёт давление, близкое к нормальному атмосферному — примерно $10^5$ Па.
Задание 1
Ёмкость цилиндрической формы высотой 15 см с площадью дна 20 см² заполняют подсолнечным маслом так, что уровень жидкости находится на 3 см ниже края ёмкости. Чему равна сила давления жидкости на дно ёмкости? Ответ выразите в ньютонах.
Дано:
$d = 3$ см
$H = 15$ см
$S = 20$ см²
$F = ?$
$h = H − d = 15 − 3 = 12 \text{ см}$
Плотность масла можно найти в справочных материалах, она равна 900 кг/м³.
$1 \text{ см} = \frac{1}{100} \text{ м} = 10^{−2} \text{ м}$
$1 \text{ см}^2 = 10^{−4} \text{ м}^2$
Сила давления равна:
$F = mg = \rho_ж V g = \rho_ж S h g = 900 \cdot 20 \cdot 10^{−4} \cdot (0{,}15 − 0{,}03) \cdot 10 = 2{,}16 \text{ Н}$
Ответ: 2,16 Н.
Задание 2
На рисунке представлены графики зависимости давления $p$ от глубины погружения $h$ при постоянной температуре для двух покоящихся жидкостей: воды и подсолнечного масла. Выберите все верные утверждения, которые согласуются с приведёнными графиками.
- В воде на глубине 10 м давление по сравнению с нормальным атмосферным возрастает вдвое.
- По мере подъёма на поверхность из подсолнечного масла его гидростатическое давление падает до величины нормального атмосферного давления.
- Плотность спирта 0,79 г/см³, график аналогичной зависимости давления от глубины погружения для спирта окажется между зависимостью для подсолнечного масла и осью абсцисс.
- С увеличением глубины погружения давление в воде возрастает медленнее, чем в подсолнечном масле.
- Плотность хлороформа 1,49 г/см³, график аналогичной зависимости давления от глубины погружения для хлороформа окажется между зависимостью для воды и осью ординат.
Да, это видно из графика — верно.
Гидростатическое давление подсолнечного масла: $p_\text{гидр м} = \rho_м g h$. По мере подъёма на поверхность уменьшается до нуля — неверно.
Давление спирта на глубине 50 м:
$p_\text{спирт} = p_0 + \rho_\text{спирт} g h = 10^5 + 790 \cdot 10 \cdot 50 = 495$ кПа.График зависимости давления спирта от глубины погружения окажется между зависимостью для подсолнечного масла и осью абсцисс — верно.Из графика следует обратное: с увеличением глубины давление в воде возрастает быстрее, чем в подсолнечном масле, — неверно.
Давление хлороформа на глубине 50 м:
$p_\text{хл} = p_0 + \rho_\text{хл} g h = 10^5 + 1490 \cdot 10 \cdot 50 = 845$ кПа.
График аналогичной зависимости давления от глубины погружения для хлороформа окажется между зависимостью для воды и осью ординат — верно.
Ответ: 135.
Задание 3
Два одинаковых вертикальных сообщающихся цилиндрических сосуда заполнены водой и закрыты поршнями массами $M_1 = 16$ кг и $M_2 = 8$ кг. В состоянии равновесия правый поршень с площадью основания 400 см² расположен выше левого на $h = 20$ см. Из приведённого ниже списка утверждений выберите все верные.
- Если на правый поршень поместить груз массой $m = 4$ кг, поршни будут находиться на одном уровне.
- Если на правый поршень поместить груз массой $m = 2$ кг, разность уровней между левым и правым поршнями составит 13 см.
- Если на правый поршень поместить груз массой $m = 1$ кг, разность уровней между левым и правым поршнями составит 17,5 см.
- Если в сосуды вместо воды налить керосин, расстояние по вертикали между поршнями в состоянии равновесия увеличится.
- Взаимное расположение поршней при заданных массах зависит от плотности жидкости, в которой они находятся.
Для сообщающихся сосудов выполняется равенство давлений на одном уровне с обеих сторон:
$\rho g H + \frac{M_1 g}{S} + p_0 = \frac{M_2 g}{S} + p_0 + \rho g H + \rho g h$
$\frac{M_1 g}{S} = \frac{M_2 g}{S} + \rho g h$
1) Если поместить на правый поршень груз массой 4 кг, общая масса поршня с грузом составит 12 кг, что будет меньше массы первого поршня. Следовательно, поршни будут находиться на разных уровнях — неверно.
2) $\dfrac{M_1 g}{S} = \dfrac{M_2′ g}{S} + \rho g h’$, где $M_2′ = M_2 + m$
$\rho g h’ = \frac{M_1 g}{S} − \frac{M_2′ g}{S}$
$h’ = \frac{1}{\rho g} \cdot \frac{g}{S} \left(M_1 − M_2’\right) = \frac{1}{\rho S}\left(M_1 − (M_2 + m)\right) = \frac{1}{1000 \cdot 400 \cdot 10^{−4}}\left(16 − (8 + 2)\right) = 15 \text{ см}$
Следовательно, утверждение неверно.
3) $h’ = \dfrac{1}{1000 \cdot 400 \cdot 10^{−4}}\left(16 − (8 + 1)\right) = 17{,}5$ см — верно.
4) $\dfrac{M_1 g}{S} = \dfrac{M_2 g}{S} + \downarrow \rho g h \uparrow$
Если заменить воду на керосин, плотность жидкости уменьшится, что приведёт к увеличению расстояния по вертикали между поршнями в состоянии равновесия — верно.
5) $\dfrac{M_1 g}{S} = \dfrac{M_2 g}{S} + \rho g h$
Взаимное расположение поршней (расстояние по вертикали между ними) зависит от плотности жидкости, в которой они находятся, — верно.
Ответ: 345.
Заключение
Гидростатическое давление — одно из базовых проявлений законов природы, с которым мы сталкиваемся повсюду: от стакана воды до океанских глубин. Оно определяется всего тремя величинами: плотностью жидкости, высотой её столба и ускорением свободного падения и не зависит ни от формы сосуда, ни от объёма жидкости. Это простое явление объясняет как повседневные наблюдения, так и работу сложных инженерных систем.
Авторы:
Саня Эбонит, преподаватель «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ;
Кир Синюткин, методист «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ
