Принцип работы и свободные электромагнитные колебания
Колебательный контур — это электрическая цепь, содержащая конденсатор и катушку индуктивности, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания.
Рассмотрим колебательный контур, в котором конденсатор изначально заряжен, а катушка — разряжена.
После замыкания цепи конденсатор начнёт разряжаться, создавая ток. Его значение будет возрастать плавно, так как в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая изменению тока. Это будет происходить до тех пор, пока заряд на обкладках конденсатора не станет равным нулю, то есть до полной его разрядки. В этот момент сила тока достигает максимального значения.
После того как конденсатор полностью разрядится (состояние 2), сила тока достигнет максимума и начнёт уменьшаться. По правилу Ленца в катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая будет стремиться вернуть силу тока к прежнему максимальному значению. Катушка создаёт ток, который будет сонаправлен начальному току. В результате протекания тока самоиндукции обкладки конденсатора приобретут заряды противоположного знака (состояние 3). Это происходит до тех пор, пока ток в катушке не станет равен нулю, а заряд конденсатора не достигнет максимального значения.
Далее конденсатор вновь начнёт разряжаться, пока его заряд не станет равен нулю, а ток в катушке не достигнет максимального значения (состояние 4).
В катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая будет стремиться вернуть силу тока к прежнему максимальному значению. В результате протекания тока самоиндукции обкладки конденсатора приобретут заряды того же знака, что и в начале (состояние 5).
Состояния 1–5 отражают одно полное колебание. Время, за которое время переходит из состояния 1 в состояние 5, называется периодом.
Колебания являются гармоническими, то есть величины изменяются по закону синуса или косинуса. Рассмотрим график зависимости заряда на положительной обкладке конденсатора от времени для идеального колебательного контура, в котором конденсатор изначально заряжен. Так как при t = 0 значение заряда максимально, график будет являться косинусоидой.
Запишем уравнение изменения заряда:
$q(t) = q_{max} \cdot \cos (\omega t)$
Взяв производную, получим уравнение силы тока через катушку:
$I(t) = (q(t))’ = q_{max} \cdot (-\sin (\omega t) \cdot \omega) = -q_{max} \omega \cdot \sin (\omega t)$
Учитывая, что $I_{max} = q_{max} \cdot \omega$, уравнение силы тока через катушку может иметь вид:
$I(t) = -I_{max} \cdot \sin (\omega t)$
Нарисуем график зависимости силы тока в катушке от времени, это будет график перевёрнутой вниз синусоиды:
Таким образом, в колебательном контуре происходит превращение энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и наоборот с определённой периодичностью.
График зависимости энергии электрического поля изначально заряженного конденсатора выглядит следующим образом:
Уравнение энергии конденсатора:
$W_c(t) = \frac{q_{max}^2 \cdot \cos^2 (\omega t)}{2C}$
График зависимости энергии магнитного поля катушки, энергия магнитного поля которой изначально равна нулю:
Заряд на одной из обкладок конденсатора можно найти по формуле:
$q = CU$
Максимальное значение напряжения на конденсаторе равно максимальной ЭДС самоиндукции в катушке, следовательно:
$q = CU$
$U = \xi_c = -LI’$
Подставим значение напряжения в формулу заряда и выполним преобразования:
$q = -LCI’ \Rightarrow q + LCI’ = 0$
Производная от заряда по времени — это сила тока. Поделим обе части уравнения на (LC):
$\frac{1}{LC}q + q” = 0$
Сопоставим полученное уравнение с уравнением гармонических колебаний и получим значение циклической частоты в колебательном контуре.
$x” + \omega^2 x = 0$
$\omega^2 = \frac{1}{LC} \Rightarrow \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
Используя формулу циклической частоты, найдём формулу периода:
$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{LC}$
$T = 2\pi\sqrt{LC}$
Полученная формула называется формулой Томсона.
По закону сохранения энергии в идеальном колебательном контуре, сумма энергии конденсатора и энергии катушки постоянна.
$W_c + W_L − const$
Так как суммарная энергия одинакова в любой момент времени, то эта сумма также будет равняться максимальной энергии конденсатора и максимальной энергии катушки.
$W_c + W_L = W_{Cmax} = W_{Lmax}$
Распишем формулы энергий:
$\frac{CU^2}{2} + \frac{LI^2}{2} = \frac{CU_{max}^2}{2} = \frac{LI_{max}^2}{2}$
В реальной жизни электромагнитные колебания являются затухающими, поскольку провода и приборы имеют некоторое сопротивление, на котором выделяется тепло. Поэтому амплитуда колебаний тока в катушке и заряда конденсатора уменьшается на каждом периоде.
Задание 1
Определите, во сколько раз период колебаний в колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью L и конденсатора ёмкостью C, больше периода колебаний в колебательном контуре, параметры элементов которого равны $\frac{L}{18}$ и 12,5C соответственно.
Запишем формулу Томсона в обоих случаях:
$T_1 = 2\pi\sqrt{LC}$
$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{18} \cdot 12,5 C} = \frac{2\pi\sqrt{LC}}{1,2} = \frac{T_1}{1,2}$
$\frac{T_1}{T_2} = 1,2$
Ответ: 1,2.
Задание 2
Напряжение на клеммах конденсатора в колебательном контуре меняется с течением времени согласно графику на рисунке. Определите, чему станет равна частота колебаний в этом контуре, если индуктивность катушки уменьшить в 16 раз. Ответ выразите в Гц.
$\nu_1 = \frac{1}{T_1}$
Из рисунка — период равен 20 с.
$\nu_1 = \frac{1}{20} = 0,05$ Гц
Запишем формулу Томсона:
$T \downarrow \text{в }4 = 2\pi \sqrt{\downarrow_{\text{в } 16} LC}$, при уменьшении индуктивности катушки в 16 раз, период колебаний уменьшится в 4 раза.
По формуле $\uparrow_{\text{в }4} \nu = \frac{1}{T \downarrow_{\text{в }4}}$ частота увеличится в 4 раза, $\Rightarrow \nu_2 = 4\nu_1 = 4 \cdot 0,05 = 0,2$ Гц.
Ответ: 0,2 Гц.
Задание 3
На рисунке представлена принципиальная схема колебательного контура. В начальном состоянии ключ К находится в положении 1, затем его переводят в положение 2. Определите, во сколько раз при этом увеличивается период собственных электромагнитных колебаний в контуре.
После того как ключ перевели в положение 2, индуктивность катушки L увеличилась в 25 раз.
Запишем формулу Томсона:
$T \uparrow_{\text{в 5}} = 2\pi\sqrt{L \uparrow_{\text{в 25}} C}$, при увеличении индуктивности катушки в 25 раз, период колебаний увеличится в $\sqrt{25} = 5$ раз.
Ответ: 5.
Задание 4
Определите, во сколько раз уменьшится период колебаний в колебательном контуре при уменьшении индуктивности катушки в 9 раз и увеличении ёмкости конденсатора в 4 раза.
Запишем формулу Томсона:
$T = 2\pi\sqrt{LC}$
$T_1 = 2\pi\sqrt{LC}$
$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9} \cdot 4C} = \sqrt{\frac{4}{9}} \cdot 2\pi\sqrt{LC} = \frac{2}{3}T_1$
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{3}{2} = 1,5$
Ответ: 1,5.
Задание 5
Ученику в ходе лабораторной работы по исследованию электромагнитных колебаний выдано две катушки индуктивностями $L_1 = 0,5$ мГн и $L_2 = 4$ мГн и два конденсатора ёмкостями $C_1 = 4$ нФ и $C_2 = 6,25$ нФ. Определите минимальную циклическую частоту собственных колебаний в контуре, собранном из пары выданных ученику элементов. Ответ выразите в $10^3 с^−1$.
По формуле $\downarrow \omega = \frac{2\pi}{T \uparrow}$ понимаем, что циклическая частота минимальна тогда, когда период колебаний принимает максимальное значение.
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2\pi\sqrt{L_{max}C_{max}}} = \frac{1}{\sqrt{L_{max}C_{max}}} = \frac{1}{\sqrt{4 \cdot 10^{−3} \cdot 6,25 \cdot 10^{−9}}} = 200000 \text{ с}^{−1} = 200 \cdot 10^3 \text{ с}^{−1}$
Ответ: 200.
Задание 6
Свободные электромагнитные колебания происходят в идеальном колебательном контуре. В таблице показано изменение заряда конденсатора с течением времени. Чему равно максимальное значение силы тока в катушке? Ответ выразите в мА.
| t, мкс | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| q, нКл | 8 | 5,68 | 0 | −5,68 | -8 | −5,68 | 0 | 5,68 | 8 | 5,68 |
Из таблицы видим, что $T = 32 \text{ мкс} = 32 \cdot 10^{−6}$; $q_m = 8 \cdot 10^{−9} \text{ Кл.}$
Максимальное значение силы тока равно:
$I_m = \omega q_m = \frac{2\pi}{T}q_m = \frac{2 \cdot 3,14 \cdot 8 \cdot 10^{−9}}{32 \cdot 10^{−6}} = 1,57 \cdot 10^{−3} = 1,57 \text{ мА}$
Ответ: 1,57.
Авторы:
Саня Эбонит, преподаватель «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ;
Кир Синюткин, методист “100балльного репетитора” по физике ЕГЭ
