Работа со степенями — базовый навык для решения задач по физике на ЕГЭ. Величины здесь часто записываются в стандартном виде, а формулы содержат степени расстояния, времени и других параметров. Даже при правильном понимании физики ошибки в степенях могут привести к неверному ответу.
В статье разберём основные правила работы со степенями и типичные ситуации из экзаменационных задач. После этого ты сможешь уверенно выполнять вычисления и избегать распространённых ошибок.
Почему степени важны в физике
В задачах по физике часто встречаются очень большие и очень малые числа. Например, скорость света равна примерно 300 000 000 м/с, а масса электрона — 0,00000000000000000000000000000091 кг. Такие записи неудобны: легко ошибиться в количестве нулей и трудно быстро проверить вычисления.
Поэтому используют стандартный вид — запись через степень числа 10. Скорость света записывают как $3 \cdot 10^8$ м/с, а массу электрона — как $9{,}1 \cdot 10^{−31}$ кг. Это делает вычисления компактнее и понятнее.
Степени бывают и в самих формулах. В законах Кулона и всемирного тяготения фигурирует квадрат расстояния ($r^2$), энергия фотона зависит от величины $\frac{1}{\lambda}$, а интенсивность излучения убывает как $\frac{1}{r^2}$. Без уверенной работы со степенями корректно решать задачи ЕГЭ практически невозможно.
Основные правила действий со степенями
Правила работы со степенями одинаковы для любых чисел. В физике чаще всего используют основание 10.
Умножение степеней с одинаковым основанием.
При умножении показатели степени складываются.
Формула: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Пример: $10^5 \cdot 10^7 = 10^{12}$. В физике это встречается при умножении больших чисел, например при вычислении полного заряда или энергии.Деление степеней с одинаковым основанием.
При делении из показателя числителя вычитается показатель знаменателя.
Формула: $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
Пример: $\dfrac{10^8}{10^3} = 10^5$. Так мы переводим, например, метры в километры или секунды в миллисекунды.Возведение степени в степень.
Показатели перемножаются.
Формула: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Пример: $(10^3)^2 = 10^6$. Это ключевое правило при переводе квадратных и кубических единиц: $1 \text{ км}^2 = (10^3 \text{ м})^2 = 10^6 \text{ м}^2$.Степень с нулевым показателем.
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
Формула: $a^0 = 1$.
Пример: $\frac{10^5}{10^5} = 10^0 = 1$. Это важно при упрощении формул, когда степени сокращаются полностью.Отрицательная степень.
Отрицательный показатель означает единицу, делённую на число в положительной степени.
Формула: $a^{−n} = \dfrac{1}{a^n}$.
Пример: $10^{−6} = \dfrac{1}{10^6} = 0{,}000001$. Так работают приставки микро-, нано-, пико-.Дробный показатель (корень).
Корень $n$-й степени из числа $a$ можно записать как $a$ в степени $\frac{1}{n}$.
Формула: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$.
Пример: $\sqrt{10^6} = (10^6)^{\frac{1}{2}} = 10^3$. Это встречается при извлечении корня из квадрата скорости или из квадрата расстояния.
Типичные ситуации со степенями в физике
Умножение величин с разными степенями.
Пример: найти заряд, прошедший через проводник, если сила тока $I = 2 \cdot 10^{-3}$ А, а время $t = 5 \cdot 10^2$ с.
Решение: $q = I \cdot t = (2 \cdot 10^{-3}) \cdot (5 \cdot 10^2) = (2 \cdot 5) \cdot (10^{-3} \cdot 10^2) = 10 \cdot 10^{-1} = 1$ Кл.
Важно: сначала перемножаются мантиссы ($2 \cdot 5 = 10$), затем складываются показатели ($−3 + 2 = -1$). Получается: $10 \cdot 10^{-1} = 10^0 = 1$.
Деление величин.
Пример: найти сопротивление, если напряжение $U = 220$ В, а ток $I = 0{,}5 \text{ А} = 5 \cdot 10^{-1}$ А.
Решение: $R = \dfrac{U}{I} = \dfrac{220}{5 \cdot 10^{-1}} = \dfrac{220 \cdot 10^1}{5} = 44 \cdot 10^1 = 440$ Ом.
Или через степени: $220 = 2{,}2 \cdot 10^2$, тогда $\dfrac{2{,}2 \cdot 10^2}{5 \cdot 10^{-1}} = \dfrac{2{,}2}{5} \cdot 10^{2-(-1)} = 0{,}44 \cdot 10^3 = 4{,}4 \cdot 10^2 = 440$ Ом.
Возведение в квадрат и извлечение корня.
Пример: площадь круга $S = 3{,}14 \cdot 10^{-4}$ м². Найти радиус.
Решение: $S = \pi R^2 \;\Rightarrow\; R = \sqrt{\dfrac{S}{\pi}} = \sqrt{\dfrac{3{,}14 \cdot 10^{-4}}{3{,}14}} = \sqrt{10^{-4}} = (10^{-4})^{\frac{1}{2}} = 10^{-2} \text{ м} = 0{,}01$ м.
Ключевой момент: корень из $10^{-4}$ равен $10^{-2}$, потому что $\frac{-4}{2} = -2$.
Сложение и вычитание.
Складывать и вычитать можно только числа с одинаковым показателем степени. Если показатели разные, нужно сначала привести их к одному.
Пример: $3 \cdot 10^5 + 2 \cdot 10^4$.
Приводим к общему показателю $10^5 \text{: } 2 \cdot 10^4 = 0{,}2 \cdot 10^5$.
Тогда $3 \cdot 10^5 + 0{,}2 \cdot 10^5 = 3{,}2 \cdot 10^5$.
Никогда не складывай мантиссы, не выровняв показатели! Например, запись $3 \cdot 10^5 + 2 \cdot 10^4 = 5 \cdot 10^9$ неверна: результат $5 \cdot 10^9$ соответствует миллиардам, а не сотням тысяч.
Сначала приведи числа к одинаковой степени:
$3 \cdot 10^5 + 0{,}2 \cdot 10^5 = 3{,}2 \cdot 10^5$.
Работа с приставками через степени
Каждая приставка системы СИ соответствует определённой степени десяти. Запомнить их легче, если воспринимать приставку как замену степени:
- кило- $= 10^3$ (тысяча);
- мега- $= 10^6$ (миллион);
- гига- $= 10^9$ (миллиард);
- тера- $= 10^{12}$ (триллион);
- милли- $= 10^{-3}$ (одна тысячная);
- микро- $= 10^{-6}$ (одна миллионная);
- нано- $= 10^{-9}$ (одна миллиардная);
- пико- $= 10^{-12}$ (одна триллионная).
При переводе из одной единицы в другую достаточно заменить приставку на соответствующую степень. Например, $5 \text{ нФ} = 5 \cdot 10^{-9}$ Ф; $2 \text{ км} = 2 \cdot 10^3$ м.
Типичные ошибки при работе со степенями
Сложение показателей при умножении чисел с разными основаниями.
Нельзя: $2^3 \cdot 3^2 = 6^5$. Можно перемножать только степени с одинаковыми основаниями.
Путаница с отрицательными степенями при делении.
Запомни: $\dfrac{10^{-2}}{10^{-5}} = 10^{-2-(-5)} = 10^{-2+5} = 10^3$. Минус на минус даёт плюс.
Неправильное возведение в квадрат произведения.
$(2 \cdot 10^3)^2 = 4 \cdot 10^6$, а не $2 \cdot 10^6$ и не $4 \cdot 10^9$. В квадрат возводится и число, и степень: $2^2 = 4$, $(10^3)^2 = 10^6$.
Потеря единиц измерения при работе со степенями.
Всегда помни, что степень относится не только к числу, но и к единице измерения: $(10 \text{ см})^2 = 100 \text{ см}^2 = 0{,}01 \text{ м}^2$, а не $0{,}01 \text{ см}^2$.
Сложение чисел с разными показателями без приведения.
$3 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^3 = 3 \cdot 10^2 + 40 \cdot 10^2 = 43 \cdot 10^2 = 4{,}3 \cdot 10^3$. Нельзя просто сложить $3 + 4$ и получить $7 \cdot 10^5$.
Заключение
После изучения этой темы ты сможешь уверенно работать со степенями в задачах по физике и математике. Теперь ты умеешь:
- выполнять умножение и деление степеней с одинаковым основанием;
- работать с отрицательными и дробными показателями;
- переводить величины через приставки СИ;
- приводить числа к общему показателю при сложении и вычитании.
Этот навык напрямую влияет на результат ЕГЭ: он используется почти в каждой задаче с вычислениями. Чтобы закрепить материал, реши 8–10 задач с числами в стандартном виде и отдельно потренируй перевод единиц.
Авторы:
Саня Эбонит, преподаватель «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ;
Кир Синюткин, методист «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ
