Основные понятия и характеристики
Конденсатор — это устройство, способное накапливать электрический заряд и состоящее из двух обкладок, разделённых диэлектриком.
Схематично изобразим конденсатор, подключённый к источнику постоянного напряжения:
Главной характеристикой конденсатора является ёмкость, которая измеряется в фарадах [Ф] и в случае плоского конденсатора находится по формуле:
$C = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 S}{d}$
Где:
$\varepsilon$ — относительная диэлектрическая проницаемость среды [−];
$\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, равная $8,85 \cdot 10^{−12}$ Ф/м;
$S$ — площадь одной из пластин $[\text{м}^2]$;
$d$ — расстояние между пластинами [м].На электрической схеме конденсатор изображается следующим образом:
Ёмкость конденсатора связывает между собой заряд и напряжение конденсатора, но не зависит от них.
$C = \frac{q}{U}$
Ёмкость конденсатора определяется только его геометрическими параметрами и диэлектрической проницаемостью среды между обкладками.
Если конденсатор не подключён к источнику напряжения, то заряд на обкладках будет постоянным (q-const). При этом выполняется закон сохранения заряда.
Если конденсатор подключён к источнику напряжения, то напряжение на конденсаторе будет постоянным (U-const).
Используя формулу напряжения между обкладками конденсатора, получим формулу напряжённости электрического поля.
$U = \frac{A}{q} = \frac{Fd}{q} = \frac{Eqd}{q} = Ed$
Откуда:
$E = \frac{U}{d}$
По этой формуле видно, что для напряжённости можно использовать размерность В/м.
Энергию электрического поля, запасённую в заряженном конденсаторе, можно рассчитать по формуле:
$W_C = \frac{CU^2}{2}$
Существует также альтернативная запись этой формулы. Чтобы её получить, выразим напряжение из формулы $C = \frac{q}{U}$ и подставим в исходную формулу:
$U = \frac{q}{C}$
$W_C = \frac{Cq^2}{2C^2} = \frac{q^2}{2C}$
Подставим формулу $C = \frac{q}{U}$ в исходную формулу:
$W_C = \frac{qU^2}{2U} = \frac{qU}{2}$
На экзамене и на практике задачи часто решаются с использованием закона сохранения энергии, который записывается для двух состояний:
$W_1 + A_{\text{ист}} = W_2 + Q$
где,
$W_1$ — общая энергия конденсаторов в первом состоянии, Дж;
$A_{\text{ист}}$ — работа источника по перенесению заряда, Дж;
$W_2$ — общая энергия конденсаторов во втором состоянии, Дж;
$Q$ — тепловая энергия, Дж.
Примеры решения задач
Задание 1
В ходе изучения конструкции и свойств конденсаторов использовали два масляных конденсатора, при этом ёмкость первого конденсатора оказалась в 4 раза меньше ёмкости второго конденсатора. Во сколько раз площадь пластин первого конденсатора меньше площади пластин второго конденсатора, если расстояние между пластинами первого конденсатора в 1,25 раза больше расстояния между пластинами второго конденсатора?
$C_1 = \frac{C_2}{4}$
$d_1 = 1,25d_2$
$C = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 S}{d}$
$\frac{\varepsilon\varepsilon_0 S_1}{d_1} = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 S_2}{4d_2}$
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{4d_2}{d_1} = \frac{4 \cdot 1}{1,25} = 0,8 \cdot 4 = 3,2.$
Ответ: 3,2.
Задание 2
Напряжение на обкладках конденсатора увеличивают в 4 раза. Во сколько раз при этом увеличивается энергия электрического поля конденсатора?
$U_2 = 4U_1$
$\uparrow_{\text{в }16} W = \frac{CU^2 \uparrow_{\text{в }16}}{2}$, если $U$ увеличивается в 4 раза, то $U^2$ увеличивается в 16 раз, значит энергия тоже увеличивается в 16 раз.
Ответ: 16.
Задание 3
Первый конденсатор ёмкостью 2С подключён к источнику постоянного напряжения U, а второй конденсатор ёмкостью 3С — к источнику постоянного напряжения 2U. Определите отношение энергии электрического поля второго конденсатора к энергии электрического поля первого конденсатора.
$W = \frac{CU^2}{2}$
$\frac{W_2}{W_1} = \frac{\frac{3C(2U)^2}{2}}{\frac{2CU^2}{2}} = \frac{3 \cdot 4U^2}{2U^2} = 6$
Ответ: 6.
Задание 4
Имеется два плоских конденсатора, обкладками которого являются круглые пластины. Радиус обкладок первого конденсатора 4R, расстояние между ними d, а изолирующим материалом служит воздух. Второй конденсатор состоит из двух пластин радиусом R, зазор между которыми $\frac{d}{2}$, а в качестве изолирующего материала используется некоторое вещество. Чему равна диэлектрическая проницаемость данного вещества, если ёмкость первого конденсатора в 2 раза больше ёмкости второго конденсатора?
$S_1 = \pi(4R)^2 = 16\pi R^2; d_1 = d; \varepsilon_1 = 1$
$S_2 = \pi R^2; d_2 = \frac{d}{2}; \varepsilon_2 − ?$
$C = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 S}{d}$
$C_1 = 2C_2$
$\frac{\varepsilon_1 \varepsilon_0 16\pi R^2}{d} = 2 \cdot \frac{\varepsilon_2 \varepsilon_0 \pi R^2}{\frac{d}{2}} \Rightarrow 16\varepsilon_1 = 4\varepsilon_2 \Rightarrow \varepsilon_2 = 4\varepsilon_1 = 4.$
Ответ: 4.
Задание 5
Зазор между обкладками плоского воздушного конденсатора с зарядом q = 60 мкКл и ёмкостью C = 75 мкФ составляет d = 5 мм. Определите модуль напряжённости электрического поля, создаваемого между обкладками конденсатора. Ответ выразите в В/м.
$E = \frac{U}{d}$
$C = \frac{q}{U} \Rightarrow U = \frac{q}{C}$
$E = \frac{\frac{q}{C}}{d} = \frac{q}{Cd} = \frac{60 \cdot 10^{−6}}{75 \cdot 10^{−6} \cdot 5 \cdot 10^{−3}} = 160 \frac{\text{В}}{\text{м}}.$
Ответ: $160 \frac{\text{В}}{\text{м}}$.
Авторы:
Саня Эбонит, преподаватель «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ;
Кир Синюткин, методист “100балльного репетитора” по физике ЕГЭ
