В 11-м классе тригонометрия в физике встречается постоянно — но не в таком виде, как на уроках алгебры. Здесь почти не бывает длинных доказательств или сложных уравнений. Но без уверенного понимания синуса, косинуса, тангенса и котангенса многие задачи просто не решить.
Тригонометрия нужна, например, в таких темах:
- разложение векторов на проекции (силы, скорости, импульса, напряжённости поля);
- механические колебания (уравнение вида $x = A \cdot \sin(\omega t + \varphi_0)$);
- электромагнитные колебания (заряд, ток и напряжение меняются по синусу или косинусу);
- оптика (законы отражения и преломления);
- движение по окружности и под углом к горизонту.
Для ЕГЭ важно знать тригонометрию на базовом уровне: понимать определения, знать стандартные значения и уверенно работать с проекциями.
Определения тригонометрических функций
В физике удобно начинать с геометрического определения через прямоугольный треугольник. Представь прямоугольный треугольник: два катета $a$ и $b$ и гипотенуза $c$. Угол $\alpha$ — один из острых углов треугольника.
Синус угла $\alpha$ — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
$\sin\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}$
Косинус угла $\alpha$ — отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.
$\cos\alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$
Тангенс угла $\alpha$ — отношение противолежащего катета к прилежащему. Тангенс также можно выразить через синус и косинус.
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{b}{a}$
$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
Котангенс угла $\alpha$ — отношение прилежащего катета к противолежащему. Котангенс также можно выразить через косинус и синус, а также как величину, обратную тангенсу.
$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{a}{b}$
$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$
$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$
Основное тригонометрическое тождество
Возведём синус и косинус угла $\alpha$ в квадрат и сложим их:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{b}{c}\right)^2 + \left(\frac{a}{c}\right)^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:
$a^2 + b^2 = c^2$
Следовательно:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = c^2$
Разделив обе части уравнения на $c^2$, получим:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством. Оно позволяет, зная синус угла, найти косинус (и наоборот) и часто используется в физике, например, при нахождении полной механической энергии колебаний или при определении амплитуды результирующего вектора.
Табличные значения углов
В физике часто встречаются углы 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° и 360°. Для них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса нужно знать наизусть.
Запомнить синусы этих углов очень легко с помощью простого правила. Рассмотрим углы от 0° до 90°. Пронумеруем их от $n = 0$ до $n = 4$.
$\sin\alpha = \frac{\sqrt{n}}{2}$
При $n = 0$: $\sin 0° = \dfrac{\sqrt{0}}{2} = 0$.
При $n = 1$: $\sin 30° = \dfrac{\sqrt{1}}{2} = \dfrac{1}{2}$.
При $n = 2$: $\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
При $n = 3$: $\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
При $n = 4$: $\sin 90° = \dfrac{\sqrt{4}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$.
Значения косинуса для этих же углов идут в обратном порядке:
Тригонометрическая окружность и знаки функций по четвертям
В физике часто нужно определять знак проекции вектора. Для этого полезно представлять тригонометрическую окружность. Угол отсчитывается от положительного направления оси $Ox$ против часовой стрелки.
Первая четверть (0°–90°): $\sin > 0$, $\cos > 0$, $\operatorname{tg} > 0$, $\operatorname{ctg} > 0$.
Вторая четверть (90°–180°): $\sin > 0$, $\cos < 0$, $\operatorname{tg} < 0$, $\operatorname{ctg} < 0$.
Третья четверть (180°–270°): $\sin < 0$, $\cos < 0$, $\operatorname{tg} > 0$, $\operatorname{ctg} > 0$.
Четвёртая четверть (270°–360°): $\sin < 0$, $\cos > 0$, $\operatorname{tg} < 0$, $\operatorname{ctg} < 0$.
В физике угол может быть не только острым, но и тупым (например, угол между силой и осью). Знак синуса или косинуса определит знак проекции вектора.
Формулы приведения (упрощение аргументов)
В физике углы часто записывают в радианах. Основные соотношения:
$\pi$ радиан $= 180°$
$\dfrac{\pi}{2} = 90°$
$\dfrac{\pi}{3} = 60°$
$\dfrac{\pi}{4} = 45°$
$\dfrac{\pi}{6} = 30°$
Для упрощения тригонометрических функций от аргументов вида $\left(\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha\right)$, $(\pi \pm \alpha)$, $\left(\dfrac{3\pi}{2} \pm \alpha\right)$, $(2\pi \pm \alpha)$ существуют формулы приведения. Правила запоминания:
- Если аргумент содержит $\dfrac{\pi}{2}$ или $\dfrac{3\pi}{2}$ (то есть 90° или 270°), то функция меняется на кофункцию: $\sin \leftrightarrow \cos$, $\operatorname{tg} \leftrightarrow \operatorname{ctg}$.
- Если аргумент содержит $\pi$ или $2\pi$ (то есть 180° или 360°), то функция не меняется.
- Знак перед приведённой функцией определяется знаком исходной функции в соответствующей четверти, при этом угол $\alpha$ острый.
Примеры для синуса и косинуса:
$\sin\!\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = +\cos\alpha$
$\cos\!\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = +\sin\alpha$
$\sin\!\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = +\cos\alpha$
$\cos\!\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha$
$\sin(\pi - \alpha) = +\sin\alpha$
$\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$
$\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$
$\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$
$\sin\!\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha$
$\cos\!\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha$
$\sin\!\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos\alpha$
$\cos\!\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = +\sin\alpha$
$\sin(2\pi - \alpha) = -\sin\alpha$
$\cos(2\pi - \alpha) = +\cos\alpha$
В физике эти формулы применяются, например, при анализе колебаний, когда начальная фаза $\varphi_0$ сдвинута относительно нуля, или при нахождении проекций векторов в нестандартных системах координат.
Формулы двойного угла ($sin 2\alpha$, $cos 2\alpha$)
В задачах по физике эти формулы встречаются реже, но в некоторых случаях (например, в оптике при интерференции, в механике при рассмотрении движения под углом) они могут понадобиться.
Синус двойного угла:
$\sin 2\alpha = 2 \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha$
Косинус двойного угла имеет три формы записи, которые равносильны:
$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$
$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$
$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$
Применение тригонометрии в физике: разложение вектора на проекции
Самое частое применение тригонометрии в задачах ЕГЭ по физике — это разложение вектора на проекции. Пусть дан вектор $a$ с модулем $|a|$. Он образует угол $\alpha$ с горизонтальной осью $Ox$.
Проекция вектора на ось $Ox$: $a_x = |\vec{a}| \cdot \cos\alpha$
Проекция вектора на ось $Oy$: $a_y = |\vec{a}| \cdot \sin\alpha$
Если угол отсчитывается от горизонтали, но вектор направлен вверх, то обе проекции положительны. Если вектор направлен вниз, то проекция на ось $Oy$ будет отрицательной:
$a_y = -|\vec{a}| \cdot \sin\alpha$
Если угол задан не с горизонталью, а с вертикалью, то проекции меняются местами. Пусть вектор $c$ образует угол $\gamma$ с вертикальной осью $Oy$. Тогда:
проекция на ось $Ox$: $c_x = -|\vec{c}| \cdot \sin\gamma$ (знак «минус», если вектор направлен влево);
проекция на ось $Oy$: $c_y = |\vec{c}| \cdot \cos\gamma$.
Важно помнить: модуль вектора всегда положителен. Знак проекции определяется направлением вектора относительно оси. Если направление вектора совпадает с направлением оси, проекция положительна, если противоположно — отрицательна. Если вектор перпендикулярен оси, его проекция на эту ось равна нулю.
Модуль вектора через его проекции находится по теореме Пифагора:
$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} \quad \text{— для двух измерений.}$
$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \quad \text{— для трёх измерений.}$
Типичные ошибки при работе с тригонометрией в физике
- Путают синус и косинус. Если угол отсчитывается от горизонтали, проекция на $X$ — это косинус, на $Y$ — синус.
- Забывают про знак. Без рисунка легко ошибиться, поэтому лучше всегда делать хотя бы схему.
- Получают значения больше 1 по модулю. Это невозможно: синус и косинус всегда лежат в диапазоне от $-1$ до $1$.
- Путают градусы и радианы. В формулах для колебаний аргумент почти всегда в радианах.
- Возникают трудности с тупыми углами. Не пытайся втиснуть тупой угол в прямоугольный треугольник. Используй тригонометрическую окружность или формулы приведения. Помни, что $\sin$ углов от 90° до 180° положителен, а $\cos$ — отрицателен.
Графики тригонометрических функций
В курсе физики 11-го класса графики тригонометрических функций используют при изучении механических и электромагнитных колебаний, а также волновых процессов. Понимание формы графиков $y = \sin x$ и $y = \cos x$, а также их преобразований, помогает интерпретировать зависимости от времени: координаты, скорости, ускорения, заряда, силы тока и напряжения.
График функции $y = sin x$
Синусоида — это волнообразная кривая, которая проходит через начало координат. Функция $y = \sin x$ является нечётной, то есть $\sin(-x) = -\sin x$. Это означает, что график симметричен относительно начала координат.
Основные характеристики графика $y = \sin x$:
- Область определения: все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
- Область значений: от −1 до 1 ($y \in [-1;, 1]$).
- Период: $T = 2\pi$ (через каждые $2\pi$ график полностью повторяется).
- Нули функции: $\sin x = 0$ при $x = \pi \cdot n$, где $n$ — целое число.
- Максимумы: $\sin x = 1$ при $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi \cdot n$.
- Минимумы: $\sin x = -1$ при $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi \cdot n$.
- Функция возрастает на интервалах $\left(-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi \cdot n; \quad \dfrac{\pi}{2} + 2\pi \cdot n\right)$.
- Функция убывает на интервалах $\left(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi \cdot n; \quad \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi \cdot n\right)$.
График функции $y = cos x$
Косинусоида по форме похожа на синусоиду, но сдвинута по горизонтали. Функция $y = \cos x$ является чётной, то есть $\cos(-x) = \cos x$. Это означает, что график симметричен относительно оси ординат (оси $Y$).
Основные характеристики графика $y = cos x$:
- Область определения: все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
- Область значений: от −1 до 1 ($y \in [-1;, 1]$).
- Период: $T = 2\pi$.
- Нули функции: $\cos x = 0$ при $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi \cdot n$.
- Максимумы: $\cos x = 1$ при $x = 2\pi \cdot n$.
- Минимумы: $\cos x = -1$ при $x = \pi + 2\pi \cdot n$.
- Функция убывает на интервалах $(0 + 2\pi \cdot n; \quad \pi + 2\pi \cdot n)$.
- Функция возрастает на интервалах $(\pi + 2\pi \cdot n; \quad 2\pi + 2\pi \cdot n)$.
Очень часто на ЕГЭ по физике появляются графики модулей или квадратов тригонометрических функций. Важно уметь их правильно строить и определять.
Квадрат тригонометрической функции
При возведении в квадрат часть функции, которая находится ниже оси абсцисс, отображается в верхнюю полуплоскость. При подходе к оси $Ox$ функция ведёт себя плавно, без острых углов.
Модуль тригонометрической функции
Если взять тригонометрическую функцию под знак модуля, её часть, расположенная ниже оси абсцисс, отражается вверх — в верхнюю полуплоскость. Важно, что вблизи оси $Ox$ такая функция ведёт себя «резко»: график образует изломы.
Заключение
Теперь тригонометрия — это не набор формул, а удобный инструмент для решения задач по физике. Понимание связи между синусом, косинусом и геометрией помогает быстрее разбираться в задачах на векторы и колебания. Эти знания позволяют уверенно работать с проекциями, корректно учитывать знаки и читать графики.
Теперь ты умеешь:
- находить проекции векторов через синус и косинус;
- применять основное тригонометрическое тождество;
- использовать табличные значения углов;
- определять знаки функций по четвертям;
- анализировать графики $\sin$ и $\cos$.
Для закрепления реши 10–15 задач на проекции и колебания — это поможет довести навыки до автоматизма.
Авторы:
Саня Эбонит, преподаватель «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ;
Кир Синюткин, методист «100балльного репетитора» по физике ЕГЭ
