Формулы сокращённого умножения: объяснение и примеры
Поделиться статьей:
Например, как подготовиться к ЕГЭ
Теги для быстрого поиска
Введение
При решении задач по алгебре часто требуется быстро возводить выражения в квадрат или раскрывать скобки. Делать это вручную долго и легко ошибиться. В таких случаях помогают формулы сокращённого умножения.
В этой статье разберём, что это такое, как их запомнить и применять на практике.
Что такое формулы сокращённого умножения
Формулы сокращённого умножения — это тождества из школьной алгебры, которые позволяют заменить длинное раскрытие скобок короткой записью. Слово «сокращённое» означает, что вместо пошагового умножения используется уже готовый результат.
Тему изучают в 7-м классе и продолжают использовать в 8-м при работе с выражениями и уравнениями. Освоив её один раз, можно значительно ускорить решение задач.
Где пригодятся формулы сокращённого умножения
Формулы сокращённого умножения применяются в большинстве задач школьной алгебры.
Чаще всего их используют:
- при упрощении выражений — чтобы быстро раскрыть скобки и привести подобные члены;
- разложении на множители — например, при работе с разностью квадратов или квадратом разности;
- решении уравнений — когда выражение можно преобразовать в произведение;
- вычислениях без калькулятора — например, при возведении чисел в квадрат.
Эти формулы регулярно встречаются в заданиях ОГЭ и ЕГЭ по математике, особенно в темах «Алгебраические выражения» и «Уравнения». Поэтому их важно не просто выучить, а научиться применять на практике.
Все формулы сокращённого умножения
Ниже — полный набор формул с кратким описанием каждой. Это удобная шпаргалка: возвращайся к ней, пока формулы не закрепятся в памяти.
- Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b².
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого и второго плюс квадрат второго. Средний член теряют чаще всего, поэтому запомни его. - Квадрат разности: (a − b)² = a² − 2ab + b².
Структура та же, но средний член со знаком минус. Первый и последний члены всегда положительные: это квадраты. - Разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b).
Разность двух квадратов раскладывается в произведение суммы и разности тех же оснований. Формула работает в обе стороны: можно как раскладывать на множители, так и сворачивать произведение обратно. - Куб суммы: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
Четыре слагаемых со знаком плюс. Коэффициенты 1, 3, 3, 1 симметричны — это помогает при проверке. - Куб разности: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
Знаки в кубе разности чередуются по схеме: плюс, минус, плюс, минус. Это удобный ориентир, чтобы не запутаться при записи. - Сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Разность кубов: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
Знак перед ab во втором множителе всегда противоположен знаку исходного выражения — это главный ориентир при выборе нужной формулы.
Как работает каждая формула
Как вывести формулу квадрата суммы
Квадрат суммы — это произведение выражения на само себя: (a + b)² = (a + b) · (a + b). Раскрываем по распределительному закону умножения: каждый член первой скобки умножается на каждый член второй. Получаем: a · a + a · b + b · a + b · b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².
Два средних слагаемых складываются в 2ab. Именно отсюда берётся удвоенное произведение, которое легко упустить при записи по памяти.
Есть и геометрическое объяснение: если представить квадрат со стороной (a + b) и разбить его на части, получится квадрат со стороной a, квадрат со стороной b и два прямоугольника со сторонами a и b. Суммарная площадь — a² + 2ab + b² — совпадает с алгебраическим результатом.
Почему работает разность квадратов
Разность квадратов a² − b² = (a − b)(a + b) выводится через раскрытие скобок. Перемножаем правую часть: (a − b)(a + b) = a² + ab − ab − b² = a² − b². Средние слагаемые сокращаются — именно поэтому в результате нет среднего члена.
Формула позволяет быстро разложить на множители любое выражение вида «квадрат минус квадрат». Главное условие — убедиться, что оба слагаемых действительно являются точными квадратами.
Как понять куб суммы: откуда берутся все слагаемые
Куб суммы выводится последовательно: сначала возводим (a + b) в квадрат, затем умножаем результат на (a + b). После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Коэффициенты 1, 3, 3, 1 — это строка треугольника Паскаля для третьей степени.
Для школьных задач достаточно запомнить саму формулу, но понимание того, откуда берётся каждый коэффициент, помогает восстановить запись, если она вдруг забылась.
Сумма кубов и разность кубов: как не запутаться в знаках
Главное различие между суммой и разностью кубов — знак перед ab во втором множителе. В сумме кубов (a + b)(a² − ab + b²) — знак минус. В разности кубов (a − b)(a² + ab + b²) — знак плюс.
Знак перед ab всегда противоположен знаку в исходном выражении.
Сумма и разность степеней в общем случае выражаются через произведение многочленов — и именно эти две формулы полностью покрывают третью степень.
Примеры с решением
Числа и одночлены
Пример 1. Вычислить 102² без калькулятора.
Представляем 102 как (100 + 2) и применяем квадрат суммы:
(100 + 2)² = 100² + 2 · 100 · 2 + 2² = 10 000 + 400 + 4 = 10 404.
Пример 2. Раскрыть скобки: (x − 5)².
Применяем квадрат разности: x² − 2 · x · 5 + 25 = x² − 10x + 25.
Буквенные выражения и двойные скобки
Пример 3. Разложить на множители: 4a² − 20ab + 25b².
Замечаем, что 4a² = (2a)², 25b² = (5b)², а 20ab = 2 · 2a · 5b. Это квадрат разности: (2a − 5b)².
Пример 4. Упростить: (3x + y)² − (3x − y)².
Раскрываем каждую скобку:
(9x² + 6xy + y²) − (9x² − 6xy + y²) = 12xy.
Как решать уравнения с разностью квадратов
Пример 5. Решить уравнение: x² − 9 = 0.
Левая часть — разность квадратов: x² − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: x = 3 или x = −3.
Как упростить выражение с квадратом суммы
Пример 6. Упростить: (a + b)² + (a − b)².
Раскрываем каждое слагаемое:
(a² + 2ab + b²) + (a² − 2ab + b²) = 2a² + 2b².
Как запомнить формулы сокращённого умножения
Мнемонические правила для знаков в формулах
Для куба разности удобно использовать простую последовательность знаков: плюс, минус, плюс, минус. На первых порах можно записывать её рядом с формулой и сверяться. В формулах квадратов суммы и разности ориентир ещё проще: знак среднего члена совпадает со знаком внутри скобок.
Для суммы и разности кубов помогает правило противоположного знака: знак при члене ab во втором множителе всегда противоположен знаку исходного выражения.
Как быстро выучить квадрат суммы
Сначала запомни структуру: квадрат первого члена, удвоенное произведение, квадрат второго. Затем дважды выведи формулу самостоятельно через раскрытие скобок. После этого реши несколько примеров без подсказок.
Понимание происхождения каждого слагаемого надёжнее механического заучивания: даже если формула забудется, её можно быстро восстановить.
Как проверить себя при раскрытии скобок
После преобразования подставь конкретные значения переменных, например a = 2 и b = 3, и сравни результаты левой и правой частей. Если они совпадают, всё выполнено верно.
Этот способ подходит для любой формулы и занимает минимум времени. Его удобно использовать при подготовке, чтобы убедиться в правильности записи.
Типичные ошибки
Что будет, если потерять средний член
Самая распространённая ошибка — записать (a − b)² = a² − b², пропустив средний член. Квадрат разности всегда содержит три слагаемых. Ошибка в знаке или потеря члена меняет весь результат, и задача решается неверно даже при правильном методе.
Проверь подстановкой: при a = 1, b = 1 левая часть выражения (a + b)² даёт 4, а запись a² + b² даёт только 2. Расхождение очевидно — средний член 2ab обязателен.
Когда применять разность квадратов, а когда квадрат разности
Разность квадратов — это a² − b², два слагаемых, оба являются точными квадратами. Квадрат разности — это (a − b)², уже возведённое в степень выражение. Путаница возникает, когда выражение записано без скобок: x² − 4 — это разность квадратов, а (x − 2)² — квадрат разности.
Перед применением формулы стоит убедиться, что структура выражения определена верно. Один лишний взгляд на запись экономит время на исправление ошибки.
Заключение
Формулы сокращённого умножения — один из базовых инструментов алгебры, без которого работа с многочленами и подготовка к ОГЭ и ЕГЭ усложняются. Понимание того, как каждая формула выводится, надёжнее механического запоминания. Сохрани шпаргалку, разбери примеры самостоятельно — и тема перестанет вызывать затруднения на контрольной.
Автор:
Воеводина Софья, выпускающий редактор «100балльного репетитора»
